Limites aux bornes

Propriété

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\text{e}}^x=0$  et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\text{e}}^x=+\mathrm{\infty }$ .

Démonstration

Limite en $+\mathrm{\infty }$
On considère la fonction $f$ définie sur  $[0;+\mathrm{\infty }[$ par $f(x)={\text{e}}^x-x$ . 
$f$  est définie et dérivable sur  $[0;+\mathrm{\infty }[$ et $\mathrm{\forall }x\in [0;+\mathrm{\infty }[,f^{\prime }(x)={\text{e}}^x-1$ .
La fonction exponentielle étant croissante sur $\mathbb{R}$ , pour tout réel $x⩾0$ , ${\text{e}}^x⩾{\text{e}}^0$ .
Comme  ${\text{e}}^0=1$ , on en déduit donc que, sur $[0;+\mathrm{\infty }[,f^{\prime }(x)⩾0$ .
Ainsi  $f$ est croissante sur  $[0;+\mathrm{\infty }[$ , et comme $f(0)={\text{e}}^0=1$ ,  $f$ est positive sur  
$[0;+\mathrm{\infty }[$ .
$\mathrm{\forall }x⩾0,f(x)⩾0⟺{\text{e}}^x⩾x$ .
Pour tout réel  $x⩾0,{\text{e}}^x⩾x$ et $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}x=+\mathrm{\infty }$ .
D'après le théorème de comparaison, $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\text{e}}^x=+\mathrm{\infty }$ .

Limite en $-\mathrm{\infty }$  
$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},{\text{e}}^x={\displaystyle \frac{1}{{\text{e}}^{-x}}}$
$\text{Missing open brace for subscript}$  et  $\underset{X\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\text{e}}^X=+\mathrm{\infty }$ donc par composée $\text{Missing open brace for subscript}$ .
Par inverse, $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{1}{{\text{e}}^{-x}}=0}$ .